?

Log in

No account? Create an account
За что мы любим математику? - Книга бревна [entries|archive|friends|userinfo]
Книга бревна

[ картинки | галерея ]

За что мы любим математику? [May. 5th, 2006|11:41 am]
Книга бревна
[Tags|]
[dow |11,548.76]

"Есть многое на свете друг Гораций, что и не снилось нашим мудрецам" - поведал нам Шекспир устами Гамлета. Оказывается не только "на свете", но и в голове мудреца есть много такого, что ему и не снилось.

Ну вот например, как вы думаете, что "больше" сфера, которую вы можете взять в горсть или бесконечная плоскость? Что бы вы ни думали по этому поводу, больше - сфера. Причём ровно на одну точку: если эту точку из сферы выколоть, она станет "равна" (ну, ладно, - изоморфна) плоскости.

Правильное решение контр-интуитивно.

Вот за такие игры с интуицией мы математику и любим. В чём же тут закавыка? Ведь сфера и плоскость вроде бы вполне интуитивные абстракции обьектов реального мира? Закавыка в понятии непрерывности, которая тоже сперва строилась как интуитивная абстракция свойств предметов, но как нам наглядно продемонстрировал Зенон (с помощью Ахиллеса, черепахи, стрелы и кучи зерна), с ней оказалось всё ох как непросто. Если теперь (слава Кантору!) определить непрерывность так, чтобы зеноновы апории можно было бы втихую замести под ковёр, то выходит, что маленький шарик "больше" бесконечной плоскости.
LinkReply

Comments:
[User Picture]From: vvstepa
2006-05-05 05:53 pm (UTC)

Маленькое уточнение,

не меняющее сути - даже с оставшейся точкой в смысле мощности множеств сфера раномощна плоскости.
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: fat_yankey
2006-05-05 11:15 pm (UTC)

Поясните, пожалуйста.

Если плоскость равномощна (невыколотой) сфере, то между точками сферы и полоскости можно установить взаимно-однозначное соответствие. Как?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: timofeikoryakin
2006-05-06 02:00 am (UTC)

Хм

Существует y=f(x), задающее взаимооднозначное соответствие между плоскостью и выколотой сферой. Выберем на плоскости счётное множество точек U, перенумеруем их (u1...uN...). Построим функцию
y=f1(x)=1) выколотой точке, если x=u1
2) f(uN-1), если x=uN, N>1
3) f(x), если x не принадлежит U.
f1 -- взаимооднозначное соответствие между невыколотой сферой и плоскостью.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: timofeikoryakin
2006-05-06 02:13 am (UTC)
Дело в том, что изоморфизм -- это вовсе не просто взаимное соответствие. Это взаимное соответствие с сохранением метрики. Но к вопросу о том, какое множество "больше", он не имеет ни малейшего отношения. Это понятие находится на другом уровне...
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: fat_yankey
2006-05-06 02:47 am (UTC)

Ага, спасибо.

Я чувствовал, что где-то фигню несу, но не мог понять где.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: vvstepa
2006-05-06 06:26 am (UTC)

Re: Поясните, пожалуйста.

конструктивное доказательство уже приведено выше.

А вообще-то одно из определений "бесконечных множеств" звучит так:
"Множество называется бесконечным, если его мощность не меняется от добавления любого конечного числа элементов"
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: fat_yankey
2006-05-06 04:56 pm (UTC)

[быстренько посыпает голову пеплом]

Да-да, мог бы и сам догадаться.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: waxtep
2006-05-05 10:12 pm (UTC)
меняю небольшую сферу рублей на бесконечную плоскость долларов ! Готов даже скинуть чуть-чуть.
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: fat_yankey
2006-05-05 11:17 pm (UTC)

Ищи лоха.

Это, выходит, по курсу 1:1? Ищи лоха. Я за 27:1 сдам.
(Reply) (Parent) (Thread)
From: glukanat
2006-05-06 10:35 am (UTC)
По пофоду фигни вы и сами все сказали.
Равномощны прямая и луч, прямая и плоскость, сфера и отрезок, натуральные и рациональные числа, а вот натуральные и действительные неравномощны.

Гораздо веселее парадокс Тарского. Сферу можно разделить на три равные части, одну выкинуть, а две оставшиеся части, составленные вмести, дадут такую же сферу.
Здесь под понятием "равно" имеется ввиду определение равенства фигур в учебниках геометрии (фигуры переводятся друг в друга движением, наложением).
На самом деле здесь тоже есть тонкость, Сфера получается вся, но с точностью меры ноль (то есть за вычетом фигуры нулевой площади)



(Reply) (Thread)
[User Picture]From: fat_yankey
2006-05-06 05:06 pm (UTC)
Сходи посмотрел на этот парадокс, там правда немного в другой формулировке (из одной сферы - две). Да, согласен, это - круче.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: mister_xy
2007-12-13 09:59 am (UTC)

Равномощны ... прямая и плоскость, сфера и отрезок ?

"Равномощны прямая и луч, прямая и плоскость, сфера и отрезок, натуральные и рациональные числа, а вот натуральные и действительные неравномощны."
Какое же можно задать взаимно однозначное соответствие между точками прямой и плоскости, например ?
(Reply) (Parent) (Thread)
From: (Anonymous)
2007-12-13 11:22 am (UTC)

Re: Равномощны ... прямая и плоскость, сфера и отрезок ?

Да любой нормальный учебник матанализа сойдет. Идея там примерно такая же, как доказать, что точек с целыми координатами на плоскости столько же, сколько натуральных чисел.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: alegz
2007-08-17 01:35 pm (UTC)
А Z (комплексная плоскость) это сфера или сфера без точки?
(Reply) (Thread)