May 5th, 2006

talk

За что мы любим математику?

"Есть многое на свете друг Гораций, что и не снилось нашим мудрецам" - поведал нам Шекспир устами Гамлета. Оказывается не только "на свете", но и в голове мудреца есть много такого, что ему и не снилось.

Ну вот например, как вы думаете, что "больше" сфера, которую вы можете взять в горсть или бесконечная плоскость? Что бы вы ни думали по этому поводу, больше - сфера. Причём ровно на одну точку: если эту точку из сферы выколоть, она станет "равна" (ну, ладно, - изоморфна) плоскости.

Правильное решение контр-интуитивно.

Вот за такие игры с интуицией мы математику и любим. В чём же тут закавыка? Ведь сфера и плоскость вроде бы вполне интуитивные абстракции обьектов реального мира? Закавыка в понятии непрерывности, которая тоже сперва строилась как интуитивная абстракция свойств предметов, но как нам наглядно продемонстрировал Зенон (с помощью Ахиллеса, черепахи, стрелы и кучи зерна), с ней оказалось всё ох как непросто. Если теперь (слава Кантору!) определить непрерывность так, чтобы зеноновы апории можно было бы втихую замести под ковёр, то выходит, что маленький шарик "больше" бесконечной плоскости.